মন্টি হল সমস্যা

মন্টিহল সমস্যা সম্ভাব্যতার একটি বহুল আলোচিত সমস্যা। এটি যেমন মজাদার তেমনই অদ্ভুতুড়ে! এই সমস্যা প্রথম প্রদর্শিত হয় “Let’s Make a Dill” নামক টিভি অনুষ্ঠানে। অনুষ্ঠানের উপস্থাপকের নাম মন্টি হল। সেই থেকে এই সমস্যার নাম হয়ে যায় মন্টি হল সমস্যা। সমস্যাটি হলো এইরকম: তিনটি দরজা আছে এবং এর যেকোনো একটির পেছনে একটি গাড়ি রাখা আছে।আর বাকি দু’টি দরজার পেছনে রাখা আছে দু’টি গাধা। কোনো দর্শক যদি সঠিক দরজাটি নির্দেশ করতে পারেন তাহলে তিনি গাড়িটি পেয়ে যাবেন। এই পর্যন্ত কোনো ঝামেলা নেই। ঝামেলাটি হচ্ছে: দর্শক একটি দরজা নির্দেশ করার পর উপস্থাপক অপর দু’টি দরজার একটি খুলে একটি গাধা দেখিয়ে দেন। তারপর দর্শককে জিজ্ঞেস করা হয় তিনি আগের সিদ্ধান্তে অনড় থাকবেন নাকি দরজা পরিবর্তন করবেন। এই পর্যায়ে দর্শক আসন থেকে উত্তেজিত চেঁচামেচি শোনা যায়। কেউ চেঁচিয়ে বলেন সিদ্বান্ত বদলানোর জন্য আর কেউ বা বলেন আগের সিদ্ধান্তে অনড় থাকার জন্য। কিন্তু আমরা যেমন দেখতে পাচ্ছি, তাঁর সামনে এখন ৫০-৫০ সুযোগ। অর্থাৎ দুটি দরজার একটির পেছনে গাড়ি রাখা আছে। তাহলে সিদ্ধান্ত পরিবর্তনে কি আসলে কিছু যায় আসে?
আপতঃদৃষ্টিতে বোঝা না গেলেও দর্শকের সিদ্ধান্তের উপর গাড়ি পাওয়ার সম্ভবনা কম-বেশী হওয়া নির্ভর করছে। তাহলে ধাপে ধাপে সমস্যাটি নিয়ে চিন্তার করা যাক।

প্রথমে ধরে নিই, তিনটি দরজা আছে, নিচের ছবি অনুযায়ী। এগুলোকে এক থেকে তিন পর্যন্ত নম্বর দেওয়া হলো। ধরে নিলাম দর্শক তিন নম্বর দরজা বাছাই করলেন।
তাঁর বাছাইয়ের পর মন্টি হল দুই নম্বর দরজা খুলে দেখিয়ে দিলেন সেখানে একটি গাধা রাখা আছে। অর্থাৎ নিশ্চিত হওয়া গেলো এক নম্বর অথবা তিন নম্বর দরজার পেছনেই গাড়ি রাখা আছে। এই অবস্থায় মন্টি হল দর্শককে জিজ্ঞেস করলেন আপনি কি এখনো তিন নম্বর দরজাই নির্বাচন করবেন নাকি সিদ্ধান্ত পরিবর্তন করে একনম্বর দরজা বাছাই করবেন?
এই প্রশ্নের উত্তর হচ্ছে দরজা পরিবর্তন করলে গাড়ি জেতার সম্ভবনা দরজা পরিবর্তন না করে গাড়ি জেতার সম্ভবনার চেয়ে দ্বিগুন হয়ে যাবে! যেসব প্রতিযোগী দরজা পরিবর্তন করবেন তাদের গাড়ি জেতার সম্ভবনা থাকে তিন বারের মধ্যে দুই বার আর যেসব প্রতিযোগী দরজা পরিবর্তন করবেন না তাদের জেতার সম্ভবনা থাকবে তিনবারের মধ্যে মাত্র একবার।
১৯৯০ সালে Vos Savant ছক আকারে বিভিন্ন সম্ভনার ফলাফল লিপিবদ্ধ করে এর সমাধান করেন। তিনি তিনটি দরজার পেছনে পাপ্য গাড়ি ও গাধার সম্ভবনাগুলোকে ছকে এভাবে লিখেন:

তিনি দেখান যে তিনটি বস্তুর মধ্যে তিন ধরনের বিন্যাস সম্ভব। এবং তৃতীয় দরজা নির্বাচন করার পর যদি সিদ্ধান্তে অনড় থাকা হয় তাহলে গাড়ি পাওয়ার সম্ভবনা তিন বারের মধ্যে একবার। কিন্তু যদি সিদ্ধান্ত পরিবর্তন করে অন্য বন্ধ দরজাটি নির্বাচন করা হয় তাহলে গাড়ি যেতার সম্ববনা তিনবারের মধ্যে দুই বার! মজার ব্যাপার হলো স্যাভান্টের প্রমানটি প্রকাশ করার পরেও পাঠকদের একটি বড় অংশ এই যুক্তি এবং সমাধান মেনে নিতে প্রস্তুত ছিলেন না। তাঁর এই সমাধান প্রথম প্রকাশিত হয় প্যারেড (parade) নামের একটি ম্যাগাজিনে। সেই ম্যাগাজিনের ১০০০০ পাঠক এই সমাধানের বিরোধীতা করে চিঠি লিখেছিলেন যাদের মধ্যে প্রায় ১০০০ জন পিএইচডি শিক্ষার্থীও ছিলেন। এমনি সর্বকালের অন্যতম সেরা গণিতবিদ পল আরডস (Paul Erdos) নিজেও এই প্রমানে সন্তুষ্ট হতে পারেন নি। পরবর্তীতে কম্পিউটারে সিমুলেশনের ফলাফল দেখে তিনি আস্বস্ত হয়েছিলেন।

কম্পিউটার সিমুলেশন পদ্ধতিটি এখন আলোচনা করা যাক। এই পদ্ধতিতে কম্পিউটারে সিমুলেশন করে একই ঘটনার বারবার পুনরাবৃত্তি ঘটানো হয় এবং ফলাফল বিশ্লেষণ করা হয়। তবে কম্পিউটারে প্রোগ্রামিংএর সময় দরজার বদলে তিনটি তাস নেওয়া হয়। গাড়ির বদলে তাসের টেক্কা এবং অন্য দুই ক্ষেত্রে গাধার প্রতিস্থাপক হিসেবে সাধারণ কার্ড নেওয়া হয়। প্রথমে তিনটি তাসকে উল্টিয়ে রাখা হয়। তারপর একজন অপারেটর একটি তাস বাছাই করে। কম্পিউটার তথন বাকী দুটি তাসের একটি উল্টিয়ে দেখায় যে সেটা একটি সাধারণ তাস। এর পর অপরেটর সিদ্ধান্ত নেয়, সে আগের তাসটিই নির্বাচিত রাখবে নাকি তাস পরিবর্তন করে অজানা অন্য তাসটি বাছাই করবে। এখন মোট আমরা ধরে নিই ৬০ হাজার বার সিমুলেশন দেওয়া হলো। এর মধ্যে ৩০ হাজার বার সিদ্ধান্ত অপরিবর্তীত রাখা হলো এবং ৩০ হাজার বার সিদ্ধান্ত পরিবর্তন করা হলো। তাহলে দেখা যাবে যেই ৩০ হাজার বার সিদ্ধান্ত অপরিবর্তীত রাখা হলে সেই ক্ষেত্রে মাত্র ১০ হাজার বার টেক্কা পাওয়া যাচ্ছে। আর যেই ৩০ হাজার বার সিদ্ধান্ত পরিবর্তন করা হলো সেই ক্ষেত্রে টেক্কা পাওয়া যাচ্ছে ২০ হাজার বার। এই সিমুলেশনের একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপন হচ্ছে নিচের ছবিটি। প্রথম ৩০ টি ধাপে এই গ্রাফটি পাওয়া যাচ্ছে।

এবার একটু ঘুরিয়ে এগোনো যাক। এই প্রশ্নের সদুত্তর পাওয়ার জন্য আমরা একটা বড় সড় আয়োজনের ব্যবস্থা করি।
আমরা মোট একহাজারটি দরজা নিলাম নিচের ছবির মতো। এর একটির পেছনে গাড়ি এবং বাকিগুলোর পেছনে গাধা রাখা আছে।

আপনাকে বলা হলো যে কোনো একটি দরজা বেছে নিতে, আপনি ১০০০ তম দরজাটি বাছাই করলেন।
তাহলে আপনার নির্বাচিত দরজাটির পেছনে গাড়ি পাওয়া যাওয়ার সম্ভবনা ১/১০০০। এরপর ১ নম্বর থেকে ৯৯৯ নম্বর পর্যন্ত দরজাগুলো খুলে আপনাকে গাধা দেখিয়ে দেওয়া হল একটি বাদে। আমরা ধরে নিই ৫৬৫ নম্বর দরজাটি বাদে বাকী দরজাগুলো খুলে আপনাকে গাধা দেখানো হলো। তাহলে এখান থেকে কি এ ধরনের একটা অনুভূতি পাওয়া যাচ্ছে না যে ৫৬৫ নম্বর দরজাটি একটি বিশেষ দরজা! আমরা ইতিমধ্যে একটা আন্দাজ পেয়ে যাচ্ছি। আমরা বুঝতে পারছি ১০০০ টি দরজা নিয়ে যদি এই সমস্যাটি চিন্তা করা যায় তাহলে আমরা দরজা পরিবর্তন করলেই গাড়ি জেতার সম্ভবনা বেশী থাকবে। এখন আমরা ৫৬৫ নম্বর দরজাটিকে ১ নম্বর দরজা দিয়ে প্রতিস্থাপন করি। অর্থাৎ আপনি ১০০০ নম্বর দরজা বাছাই করলেন আর ২ নম্বর থেকে ৯৯৯ নম্বর পর্যন্ত দরজাগুলো খুলে গাধা দেখিয়ে দেওয়া হল। ফলাফল এই দাঁড়াবে।
অর্থাৎ,
১০০০ তম দরজায় গাড়ি না পাওয়ার সম্ভবনা বোধহয় বেশি!
১ নম্বর দরজায় গাড়ি পাওয়ার সম্ভবনা বোধহয় বেশি!

তাহলে এখন আমরা একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারছি। ১০০০তম দরজা ছেড়ে আমরা যদি ১ নম্বর দরজা বাছাই করি তাহলে গাড়ি পাওয়ার সম্ভবনা বেশি হবে। এভাবে আমরা দরজার সংখ্যা ১০০০ থেকে কমাতে কমাতে যদি তিনটাতে নিয়ে আসি তাহলেও এই অবস্থা প্রযোজ্য হবে।
উপরে যে কয়েকটি উদারহরন দেওয়া হলো সেগুলোর বাইরেও নানা আঙ্গিকে, নানা উপমায় মন্টিহল সমস্যাটির সমাধান নির্ণয় করা হয়েছে। মন্টি হল সমস্যাটি শুধু রিয়েলিটি শোএর মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকেনি বরং এটি গণিত শাস্ত্রেরই একটি অন্যতম আলোড়ন সৃষ্টিকারী সমস্যায় পরিণত হয়েছিলো। এটি নিয়ে পরবর্তীতে ৭৫টির মত গবেষণাপত্র বিভিন্ন গণিতের জার্নালে প্রকাশিত হয়। পৃথিবীর বিভিন্ন দেশে ভিন্ন ভিন্ন প্রেক্ষাপটে মন্টিহল সমস্যাটি প্রচলিত আছে।

-ইমতিয়াজ আহমেদ
সম্পাদক, বিজ্ঞান পত্রিকা
[ফেসবুক প্রোফাইল]