গোল্ডেন রেশিও: গণিতের এক রহস্যময় সংখ্যা

প্রথমেই গণিতের একটি জাদু দিয়ে শুরু করা যাক । যে কোনো দুটি সংখ্যা ধরে নিয়ে এদের যোগফল বের করুন । প্রাপ্ত যোগফলটির সাথে ধরে নেওয়া দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে আবার যোগ করুন । এবার প্রতিটি যোগফলকে আগের সংখ্যা দিয়ে যোগ করতে থাকুন । এভাবে ২০তম সংখ্যা পর্যন্ত বের করে ২০তম সংখ্যাটিকে  ১৯তম সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পাবেন ১.৬০৮ । যে কোনো সংখ্যা দিয়েই শুরু করা হোক না কেন, প্রতি ক্ষেত্রেই ফল আসবে ১.৬০৮ । উদাহরণস্বরূপ ৫ এবং ২ সংখ্যা দুটিকে বিবেচনা করব ।

৫+২ = ৭; ২+৭ = ৯;  ৭+৯ = ১৬; ৯+১৬ = ২৫; ……………………

এভাবে ১৯ এবং ২০তম সংখ্যাটি পাওয়া যায় যথাক্রমে ১৩,১৫৩ এবং ২১,২৮২ । ২১,২৮২-কে ১৩,১৫৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১.৬০৮ । এই সংখ্যাটিকে বলা হয় গোল্ডেন রেশিও । এটি প্রকৃত অর্থেই একটি জাদুকরী সংখ্যা । গণিতে যতগুলো তাৎপর্যপূর্ণ সংখ্যা আছে সেগুলোর মধ্যে গোল্ডেন রেশিও বা সোনালি অনুপাত একটি । বোঝাই যাচ্ছে, এটি একটি আনুপাতিক রাশি । এর মান ১.৬১৮০… এবং প্রকাশ করা হয় গ্রীক অক্ষর φ (ফাই) দ্বারা । এটি একটি অমূলদ সংখ্যা । অর্থাৎ এটাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশরূপে প্রকাশ করা যায় না । φ-কে প্রকাশ করার একটি সাধারণ রীতি হচ্ছে-

দেখা যাচ্ছে, φ-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা সম্ভব নয় । এটি একটি চলমান প্রক্রিয়া। গণিতের আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যা পাই (π) অমূলদ সংখ্যা হলেও সেটাকে ২২/৭ ভগ্নাংশরূপে বেশ কিছু সংখ্যা পর্যন্ত সঠিকভাবে প্রকাশ করা যায় । এজন্য φ-কে বলা হয় গণিতের সর্বাধিক অমূলদ সংখ্যা ।

φ (ফাই) অক্ষরটি নেওয়া হয়েছে গ্রীক ভাস্কর ফিডিয়াস-এর নামের আদ্যক্ষর থেকে । বলা হয়, ফিডিয়াস (৪৮০-৪৩০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ) এথেনীয় পার্থানন-এর নকশা করেছিলেন সোনালি অনুপাতের ওপর ভিত্তি করে । এর পর থেকেই সোনালি অনুপাতকে φ দ্বারা প্রকাশ করার রীতি চালু হয় । গোল্ডেন রেশিওকে গোল্ডেন সেকশন (Golden Section), গোল্ডেন মিন (Golden Mean), গোল্ডেন নাম্বার (Golden Number), ডিভাইন প্রোপরশন (Devine Proportion), ডিভাইন সেকশন (Devine Section), গোল্ডেন প্রোপরশন (Golden Proportion)-ইত্যাদি বিভিন্ন নামে নামকরণ করা হয়েছে । φ সম্পর্কে প্রাচীন মিসরীয়দের জানা-শোনা ছিল বলে মনে করা হয় । আনুমানিক ২৫৬০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে তৈরি হওয়া প্রাচীন সপ্তাশ্চর্যের একটি-মিশরের পিরামিডে সোনালি অনুপাতের ব্যবহার লক্ষ করা গেছে । ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এও সোনালি অনুপাতের অনুরূপ একটি জ্যামিতিক প্রতিজ্ঞা দেওয়া ছিল । ১৫০৯ সালে ইতালীয় গণিতবিদ ও অ্যাকাউন্টিং-এর জনক লুকা প্যাচিওলির লেখা ‘ডি ডিভাইনা প্রোপরশনি (De divina proportione)’ নামক গ্রন্থটি প্রকাশিত হওয়ার পর সংখ্যাটি অধিক পরিচিতি লাভ করে । বইয়ের জ্যামিতিক চিত্রগুলো এঁকে দিয়েছিলেন  রেনেসাঁর প্রবাদ পুরুষ লিওনার্দো দ্য ভিঞ্চি । সংখ্যাটির সাথে ভিঞ্চি যে খুব ভালোভাবেই পরিচিত ছি্লেন তার জোরাল প্রমাণ এটা । লিওনার্দো দ্য ভিঞ্চি (১৪৫২-১৫১৯) তাঁর বহু শিল্পকর্মে সোনালী অনুপাত ব্যবহার করেছেন । এর মধ্যে ভিট্রুভিয়ান ম্যান, দ্য লাস্ট সাপার ও মোনালিসার নাম বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য । এছাড়া মাইকেলেঞ্জেলোর ‘দ্য ক্রিয়েশন অফ অ্যাডাম’, রাফায়েলের ‘দ্য স্কুল অফ এথেন্স’, বত্তিচেল্লির ‘দ্য বার্থ অফ ভিনাস’, সালভাদর ডালির ‘দ্য স্যাক্রামেন্ট অফ দি লাস্ট সাপার’- ইত্যাদি বিখ্যাত সব চিত্রকর্মে গোল্ডেন রেশিওর ব্যবহার দেখা যায় ।

জ্যামিতিক গঠনগুলোকে এই অনুপাতে বিভক্তিকরণের একটা আলাদা সৌন্দর্য আছে। যে কারণে বিশ্বব্যাপী আজও লোগোসহ বিভিন্ন ধরনের নকশা ও চিত্রকলায় গোল্ডেন রেশিওর  ব্যবহার লক্ষণীয় । গোল্ডেন অনুপাত মেনে ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ পঞ্চভুজ ইত্যাদি জ্যামিতিক চিত্র আঁকা যায় । একটি চতুর্ভুজ এমনভাবে আঁকা সম্ভব যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ φ:১ অনুপাতে থাকে । এরূপ চতুর্ভুজ থেকে φ অনুপাতে আরও ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র চতুর্ভুজ কেটে নিলে দেখা যায় ক্ষুদ্রতর চতুর্ভুজের বাহুগুলোও পরস্পরের সাপেক্ষে সোনালি অনুপাতে থাকে । সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে দুটি সমান বাহু ভূমির  সাথে φ:১ অনুপাতে থাকে । তা ছাড়া ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের একটিকে সমদ্বিখন্ডিত করলে সেটা বিপরীত বাহুকে φ:১ অনুপাতে বিভক্ত করে ।

সুষম পেন্টাগন বা পঞ্চভুজ গোল্ডেন রেশিওর একটি বিশেষ জ্যামিতিক গঠন । সুষম পঞ্চভুজ হচ্ছে পাঁচটি বাহুবিশিষ্ট একটি আবদ্ধ ক্ষেত্র যার প্রতিটা বাহু সমান । এর পাঁচটি  শীর্ষ থাকে । প্রতিটি শীর্ষ সমান ১০৮ ^{ডগ্রি} কোণ উৎপন্ন করে এবং কোণগুলো ব্যবহার করে পাঁচ কোণাবিশিষ্ট একটি তারকা আঁকা যায় । এরূপে অঙ্কিত তারকাটিকে বলা হয় পেন্টাগ্রাম । লক্ষ করে দেখুন, পেন্টাগ্রামের মাঝেও একটি পেন্টাগন গঠিত হয়েছে ।

পেন্টাগনের বাহুর দৈর্ঘ্য ১ একক হলে তারার বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য হয় φ . অর্থাৎ পেন্টাগনের প্রতিটা বাহু পেন্টাগ্রামের প্রতিটা কর্ণের সাথে সোনালি অনুপাতে থাকে। একটি পেন্টাগ্রামে একটি অপরটির ওপর দিয়ে গেছে এরূপ ত্রিভুজ আছে ৫টি । চিত্রে মোট ত্রিভুজ ৩৫টি এবং মোট চতুর্ভুজ ২১টি । পেন্টাগ্রামের বিশেষত্ব কোথায়? আপাতদৃষ্টিতে ছবিটাকে সাধারণ একটি জ্যামিতিক কাঠামো বলে মনে হতে পারে । তবে ছবি থেকে একেকটা অংশ তুলে নিয়ে মাপ দিলে দেখা যাবে পেন্টাগ্রামের প্রতিটা কর্ণ গোল্ডেন সেকশনে আছে । মূল ত্রিভুজগুলোর সব গোল্ডেন ত্রিভুজ । তা ছাড়া বিভক্ত প্রতিটা রেখা একটি অপরটির সাথে গোল্ডেন রেশিও অনুপাতে থাকে । ছবিতে ।

পেন্টাগ্রাম পৃথিবীর সবচেয়ে সুপরিচিত প্রতীকগুলোর একটি । বিভিন্ন দেশের সংস্কৃতিতে পেন্টাগ্রামের বিভিন্ন ধরনের ব্যবহার লক্ষ করা যায়। জাদুবিদ্যাসহ বিভিন্ন প্রাচীন ধর্মীয় আচার-অনুষ্ঠান এবং  গুপ্ত সংগঠনে পেন্টাগ্রামের ব্যবহার দেখা যায় । আবার ৬০টিরও অধিক দেশের জাতীয় পতাকায় পেন্টাগ্রাম ব্যবহার করা হয়েছে ।

ফিবোনাচ্চি ধারার সাথেও গোল্ডেন রেশিওর সম্পর্ক আছে । ০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, …………… সংখ্যার এই ধারাটি ফিবোনাচ্চি ধারা নামে পরিচিত । এখানে একটি সংখ্যা এর ঠিক আগের দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান । যেমন- ১+১ = ২, ২+১ = ৩, ৩+২ = ৫, ৫+৩ = ৮, ৮+৫ = ১৩ ইত্যাদি । ১২০২ সালে প্রকাশিত গণনা পদ্ধতির ওপর লেখা লিওনার্দো অফ পিসার ‘লিবার অ্যাবাসি’ গ্রন্থে ফিবোনাচ্চি ধারার খোঁজ পাওয়া যায় । লিওনার্দো অফ পিসা পরবর্তীতে ফিবোনাচ্চি নামে অধিক পরিচিতি পান এবং তাঁর নামানুসারে ধারাটির নামকরণ করা হয় ফিবোনাচ্চি ধারা । বইটিতে তিনি খরগোশের প্রজননসংক্রান্ত সমস্যার সমাধানকল্পে এই ধারা ব্যবহার করেছিলেন । তবে ফিবোনাচ্চি ধারাটিকে ফিবোনাচ্চির মৌলিক কাজ বলে ধরা হয় না । কেননা তাঁরও বহু আগে ভারতীয় গণিতে এই ধারার উল্লেখ পাওয়া গেছে। ধারণা করা হয়, ভারতীয়রা এই ধারাটির খোঁজ পেয়েছিলেন আরবদের কাছ থেকে । একটা সময়ে এসে দেখা গেল, ফিবোনাচ্চি ধারা এবং সোনালি অনুপাতের মাঝে একটি ঘনিষ্ট সম্পর্ক রয়েছে । বিষয়টি প্রথম লক্ষ করেন জার্মান গণিতজ্ঞ সিমন জ্যাকব, ১৫৬৪ সালে । এখানে একটি বিষয় লক্ষণীয় যে ফিবোনাচ্চি ধারার একটি সংখ্যাকে তার আগের সংখ্যা দ্বারা ভাগ দিলে যে ফল পাওয়া যায় তা ক্রমেই গোল্ডেন রেশিওর দিকে যেতে থাকে । যেমন- ৮/৫ = ১.৬; ১৩/৮ = ১.৬২৫; ৫৫/৩৪ = ১.৬১৭৬৪; …………..

প্রাণী ও উদ্ভিদজগতের সর্বত্র ফিবোনাচ্চি ধারাটি বেশ লক্ষ করা যায় । এই ধারা এবং গোল্ডেন রেশিওর মধ্যে যেহেতু ঘনিষ্ট সম্পর্ক বিদ্যমান, সেহেতু বলা যায় প্রকৃতি গোল্ডেন রেশিওকে ধারণ করে । ফুল, ফল, গাছের পাতা ও শাখা-প্রশাখা, বীজ ও পাতার আবর্তন, আবর্তন কোণ, পাখি, মানবদেহ, সংগীত, পোকামাকড়, সৌরজগৎ এমনকি স্পাইরাল গ্যালাক্সিতেও এই ধারা মেনে চলার একটা প্রবণতা দেখা যায় । প্রকৃতি কি তবে গাণিতিক কোড মেনে চলে? এর উত্তর আমাদের জানা নেই । তবে প্রকৃতির এরূপ প্রবণতা প্রকৃতির সাথে গণিতের এক চমৎকার মেলবন্ধনকেই নির্দেশ করে । ফিবোনাচ্চি ধারার এরূপ বৈচিত্রময় ব্যবহারের দরুন ১৯৬৩ সাল থেকে প্রকাশিত হয়ে আসছে ‘ফিবোনাচ্চি কোয়ার্টারলি’ জার্নাল । ফিবোনাচ্চি ও এর সাথে সম্পর্কিত গাণিতিক বিষয়াদিই এই জার্নালের প্রকাশনার বিষয় ।

পার্থানন-এর নকশায় φ-এর ব্যবহার স্থাপত্যকলার ইতিহাসে এক বিশেষ স্থান দখল করে আছে । পার্থানন-এর প্রস্থ এর উচ্চতার সাথে, ভুমি থেকে পিলারগুলোর উচ্চতা এর পর থেকে শীর্ষের দূরত্বের সাথে φ অনুপাতে আছে । তাছাড়া পুরো দালানটিকে একটি গোল্ডেন রেক্ট-এঙ্গেল কল্পনা করা যায় । গ্রীক স্থপতি ফিডিয়াস সোনালি অনুপাতের কথা মাথায় রেখেই পার্থানন-এর নকশা করেছিলেন ।

স্থাপত্যকলায় সোনালি অনুপাত ব্যবহারের আরেকটি চমৎকার নিদর্শন মিশরের পিরামিড । পিরামিডের নির্মানকাল আনুমানিক ২৫৭০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ । এত প্রাচীনকালের একটি স্থাপত্য নিদর্শনে গোল্ডেন রেশিওর ব্যবহার বিস্ময়করই বটে । তবে তাঁরা আসলেই স্বজ্ঞানে এটির ব্যবহার করেছিলেন কি না সে বিষয়ে বিশেষজ্ঞরা নিশ্চিত নন । মিশরীয়রা পরিমাপের জন্য হাতের কজি থেকে মধ্যাঙুলির ডগা পর্যন্ত দূরত্ব ব্যবহার করত যেটাকে বলা হয় কিউবিট । এই দূরত্ব ছিল ৫২.২৫ সেন্টিমিটারের সমান । গিজার গ্রেট পিরামিড-এর আনত তলের উচ্চতা ৩৫৬ কিউবিট, পিরামিডের মেঝের কেন্দ্র থেকে সোজা শীর্ষ বিন্দু পর্যন্ত উচ্চতা ২৮০ কিউবিট এবং বর্গাকার মেঝের কেন্দ্র হতে এর একটি বাহুর দূরত্ব ২২০ কিউবিট । দেখা গেছে, সংখ্যাগুলোর আনুপাতিক রাশিগুলো গোল্ডেন রেশিওর বিভিন্ন রূপে থাকে ।

c/a = ৩৫৬/২২০ = ১.৬১৮ = φ এবং b/a = ২৮০/২২০ = ১.২৭২ = √φ

ওপরের সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসে উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাওয়া যায়,  φ² = φ+1. এখানে অতিভূজ φ, লম্ব √φ ও ভূমি ১ একক । অনুরূপ একটি সম্পর্ক দেখা যায় পৃথিবী ও চাঁদের সংযুক্ত অবস্থার আনুপাতিক দূরত্বে (ছবি দেখুন)। গোল্ডেন রেশিও, এর বর্গ এবং একক বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের এই সম্পর্ক টি φ-এর আরেকটি অনন্য বৈশিষ্ট্য।

গোল্ডেন রেশিওকে বলা হয় গণিতের সুন্দরতম সংখ্যা । এটিকে প্রকৃতিতে অধিক পরিমাণে পাওয়া যায় বলে সংখ্যাটিকে অনেক সময় স্বর্গীয় সংখ্যাও বলা হয়ে থাকে । প্রকৃতি ও শিল্পকলায় এর ব্যবহার আমরা দেখেছি । আসলে এই সংখ্যার মহত্ব বলে শেষ করা যায় না । সেজন্যই জ্যোতির্বিদ ও গণিতজ্ঞ ইয়োহানেস কেপলার বলেছিলেন- জ্যামিতিতে দুটি অতি মূল্যবান সম্পদ আছে যার একটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অপরটি সোনালি অনুপাত । প্রথমটিকে আমরা স্বর্ণ ভাণ্ডার এবং দ্বিতীয়টিকে মহামূল্যবান রত্নের সাথে তুলনা করতে পারি ।

তথ্যসূত্র
The Glorious Golden Ratio – Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann
The Golden Ratio: The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number- Mario Livio
The Golden Section: Nature’s Greatest Secret- Scott Olsen
The Golden Ratio: And Other Mathematical Patterns Inspired by Nature and Art- Steve Richards

-তৌহিদুর রহমান উদয়
চিকিৎসক ও বিজ্ঞান লেখক

বিজ্ঞান পত্রিকা প্রকাশিত ভিডিওগুলো দেখতে পাবেন ইউটিউবে। লিংক:
১. টেলিভিশনঃ তখন ও এখন
২. স্পেস এক্সের মঙ্গলে মানব বসতি স্থাপনের পরিকল্পনা