Tuesday, October 12, 2021
বাড়িগণিতগণিতের সৌন্দর্য- পিথাগোরাসের থিওরেম

গণিতের সৌন্দর্য- পিথাগোরাসের থিওরেম

- Advertisement -

পীথাগোরাসের থিওরেম বা উপপাদ্য গণিতের প্রথম সারির থিওরেমগুলোর একটি। যদিও পীথাগোরাসের নামে এর নামকরণ করা হয়েছে তথাপি পীথাগোরাসের জন্মের অনেক আগে থেকেই মানুষ পীথাগোরাসের থিওরেম জানত বলে প্রমাণ পাওয়া গেছে। খুব সম্ভবত প্রাচীনকালে জমির পরিমাপ কাজে অগ্রগতি হওয়ার সময় পীথাগোরাসের থিওরেমটি আবিষ্কৃত হয়।তবে এটা নিয়ে বিতর্ক আছে যে পীথাগোরাসের থিওরেমটি এককভাবে আবিষ্কৃত হয়েছে নাকি বিভিন্ন সময়ে পৃথক পৃথকভাবে আবিষ্কৃত হয়েছে। পীথাপোরাস ছাড়াও প্রাচীন ভারতবর্ষ ও চীনের বিছু কিছু স্থান থেকেও পীথাগোরাসের উপপাদ্যের নমুনা পাওয়া গেছে। অবশ্য পীথাপোরাসের উপপাধ্যটি যে অতি প্রাচীনকাল থেকেই মানুষের জানা-শোনা থাকবে এতে অস্বাভাবিকতা নেই। কারন পীথাগোরাসের থিওরেম এখন পর্যন্ত সবচেয়ে বেশী সংখ্যকভাবে প্রমাণীত থিওরেম! প্রফেসর এলিশা স্কট লুমিস (Elisha Scott Loomis) তাঁর “The Pythagorean Proposition” বইতে পীথাগোরাসের থিওরেমের ৩৬৭ টি পৃথক পৃথক প্রমাণ উল্লেখ করেছেন। এর মধ্যে রয়েছে জ্যামিতিক, ত্রিকোণমিতিক এমনকি বীজগাণিতিক প্রমাণ!
এতক্ষণ অনেক কিছু বলা হলো কিন্তু খোদ থিওরেমটি বর্ণনা করা হয় নি। পীথাগোরাসের থিওরেমটি বর্ণনা করা যায় এভাবে,
“সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।”
নিচের চিত্র থেকে থিওরেমটি বুঝতে সুবিধা হবে।

ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার কোণ C হল এক সমকোণ। তাহলে অতিভুজ হবে AB। আর অপর দুই বাহু হচ্ছে AC ও BC। পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী এই বড় বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হচ্ছে ছোট বর্গদুটির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ,

গাণিতিক ভাবে লেখা যায়,

AC2 + BC2 = AB2, কিংবা BC, AC ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c হলে,

a2 + b2 = c2

যা হোক, এই লেখায় আমি পীথাগোরাসের কিছু চমকপ্রদ প্রমাণ দেখাব। আপনাদের মধ্যে যারা এসএসসির জ্যামিতির বই ঘেঁটে দেখেছেন তারা ইতিমধ্যে দুটি প্রমাণ পেয়ে গেছেন। তবে প্রমাণদুটি বেশ জটিল ও সময় সাপেক্ষ।এখানে আমি যে প্রমাণগুলো দেখাব সেগুলো খুবই সরলাকৃতির এবং কোনো কোনো প্রমাণের জন্য কাগজ কলমেরও প্রয়োজন হয় না।
প্রমাণ ১:

প্রথমে আমরা a এবং b বাহু বিশিষ্ট দুটি বর্গক্ষেত্র পাশাপাশি রাখি নিচের চিত্রের মত।

এবার a2 এর ভুমি থেকে b অংশ কেটে নিই এবং নিচের চিত্রের মত দুটি ত্রিভুজ তৈরি করি।এখান থেকে লক্ষ করলে দেখব দুটি সমতুল্য কিংবা সর্বসম সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়েছে। এই দুটি ত্রিভুজের অতিভুজ পাচ্ছি c।

এখন ত্রিভুজদুটিকে কেটে নিয়ে একটু পূনর্বিণ্যাস করে স্থাপন করি। অর্থাৎ, a, b দুটি বর্গক্ষেত্র থেকে অংশ কেটে নিয়ে c বাহু ধরে আমরা বর্গক্ষেত্র তৈরি করে ফেলতে পারি।

এই প্রমাণটি একটু অন্যভাবেও করা যায়। প্রথমে একই মাপের চারটি সমকোণী ত্রিভুজ নিই।

এরপর এগুলোকে নিচের চিত্রের মত বিন্যাস্ত করি।

চিত্র থেকে পাই, ভিতরের বর্গটি (a – b)2

প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 x fywg x D”PZv = 1/2 ab

C2 বর্গটি চারটি ত্রিভুজ এবং মাঝখানের বর্গটির মোট ক্ষেত্রফলের সমান।

তাহলে সবগুলো খন্ডের ক্ষেত্রফল যোগ করে পাচ্ছি,

c2       = (a -b)2 + 4 x ½ ab

= a2 -2ab + b2 +2ab

অতএব, c2 = a2 + b2

প্রমাণ ৩: (সরলরৈখিক প্রমান)

a, b, c তিনটি রেখাংশ নিয়ে যাদের মধ্যে a < b < c। এখন প্রতিটি রেখাংশকে যথাক্রমে a, b, c দিয়ে গুণ করা হল এবং প্রাপ্ত নয়টি রেখাংশ দিয়ে তিনটি ত্রিভুজ তৈরি করা হল। তাহলে ত্রিভুজের বাহুগুলো হবে:

aa    ab    ac

ab    bb    bc

ac    bc    cc

এবার এই তিনটি ত্রিভুজকে বিন্যাস্ত করলে একটি আয়তাকার ক্ষেত্র পাওয়া যাবে নিচের চিত্রের মত। এই আয়তক্ষেত্রের উপরের বাহু এবং নিচের বাহু অবশ্যই সমান হবে (যেহেতু আয়তক্ষেত্র)।

এখন, উপরের বাহুর দৈর্ঘ্য = aa + bb = a2 + b2

নিচের বাহুর দৈর্ঘ্য = cc = c2

এখন যেহেতু উপরের বাহু = নিচের বাহু, অতএব a2 + b2 = c2

প্রমাণ চার:

ধরি ABC এবং DEF দুটি সর্বসম ত্রিভুজ যেখানে B বিন্দুটি DE রেখার উপরে থাকবে এবং A, F, C, F সমরেখ।

তাহলে BC = EF = a, AC = DF = b এবং AB = DE = C

এখন, Δ ABC এর ক্ষেত্রফল = Δ DEF এর ক্ষেত্রফল

বা, ১/২ X AB.DE = ½ X DF.AE
বা, c2/2 = b(b + a2/b)/2
বা, a2 + b2 = c2

প্রমাণ পাঁচ: এই প্রমাণটি একজন হাইস্কুল শিক্ষার্খী প্রথম আবিষ্কার করেন। তাঁর নাম জন ক্যাভামুরা (John Cavamura)।

ABC এবং BED দুটি ত্রিভুজ নেয়া হলো চিত্রানুযায়ী যেখানে,
BC = BE = a
AB = DE = b
AC = BD = c

এখন, ABCD চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।

অতএব, ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = c2/2

সুতরাং, c2/2 = Δ BCD +  Δ ABD
বা, c2/2 = a2/2 + b2/2
অর্থাৎ, c2 = a2 + b2

প্রমাণ ছয়:

ধরি,

CE = BC = a

CD = AC = b

সুতরাং,

Δ CED এর ক্ষেত্রফল =  Δ ABC এর ক্ষেত্রফল

অর্থাৎ, DE = AB = C

যেহেতু AC ┴ AD এবং ED ┴ AC

অতএব,

Δ ABD এর ক্ষেত্রফল =  Δ ABC এর ক্ষেত্রফল + Δ ABC এর ক্ষেত্রফল + Δ ABC এর ক্ষেত্রফল

বা, c (c + EF) = c.EC + b2 + a2

কলেবর আর বৃদ্ধি না করে এখানেই থামছি। যাদের পীথাগোরাসের থিওরেমের সবগুলো প্রমাণ নিয়ে আগ্রহ আছে তারা এই টপিকের শুরুতে দেয়া বইটি দেখে নিতে পারেন।

বিজ্ঞান পত্রিকার ইউটিউব চ্যানেল চালু হয়েছে।
এই লিংকে ক্লিক করে ইউটিউব চ্যানেল হতে ভিডিও দেখুন।
- Advertisement -

একটি উত্তর ত্যাগ

আপনার মন্তব্য লিখুন দয়া করে!
এখানে আপনার নাম লিখুন দয়া করে

সম্পর্কিত খবর

- Advertisement -
- Advertisement -
- Advertisement -

Stay Connected

যুক্ত থাকুন

302,204ভক্তমত
780গ্রাহকদেরসাবস্ক্রাইব

Must Read

সম্পর্কিত পোস্ট

- Advertisement -
- Advertisement -

সবসময়ের জনপ্রিয়

সবচেয়ে আলোচিত

- Advertisement -
- Advertisement -
- Advertisement -
- Advertisement -
- Advertisement -
- Advertisement -
- Advertisement -