গণিতের সৌন্দর্য: জন্মদিনের সম্ভাব্যতা

0

কোথাও যদি ২৩ জন লোক উপস্থিত থাকে তাহলে শতকরা ৫০ ভাগেরও বেশী সম্ভবনা এই থাকে যে তাদের মধ্যে যে কোন দুই জনের জন্মদিন একই হবে!

তথ্যটা চমকে ওঠার মতই। একজন মানুষের জন্মদিন বছরের ৩৬৫ দিনের যে কোনো দিনে হতে পারে। অথচ ২৩ জন মানুষের মধ্যে দুইজনের জন্মদিন মিলে যাওয়ার সম্ভবনাটা ৫০% এর বেশী। কিন্তু গণিত প্রমাণ করে দিয়েছে যে এটাই ঠিক।

প্রমাণ:
এই তথ্যটি প্রমাণ করার জন্য আমাদের ২৩ জন লোক দরকার। প্রথমেই ধরে নিই একটি কক্ষে ২৩ জন ব্যক্তি উপস্থিত আছে। এখন এদের মাঝ থেকে যেকোন একজনকে ডেকে নেয়া হল।

এই ব্যক্তির জন্মদিন বছরের যেকোন একদিনে অবশ্যই হবে। অর্থাৎ এই ব্যক্তির জন্মদিন বছরের যেকোন একদিনে হওয়ার সম্ভবনা ১০০%। এটাকে আমার লিখতে পারি ৩৬৫/৩৬৫। যারা ব্যাপারটি বুঝতে পারেন নি তারা পরিশিষ্ট-১ দেখতে পারেন।

এবার দ্বিতীয় একজনকে ডেকে নিই। এই ব্যক্তির জন্মদিন যদি প্রথম ব্যক্তির একই দিনে না হয় তাহলে বাকী ৩৬৪ দিনের মধ্যে যেকোন একটি দিনে হওয়ার সম্ভবনা ৩৬৪/৩৬৫।

এইভাবে তৃতীয় ব্যক্তির জন্মদিন প্রথম দুই ব্যক্তির চেয়ে ভিন্ন হওয়ার সম্ভবনা ৩৬৩/৩৬৫।

এভাবে যেতে যেতে ২৩তম ব্যক্তির জন্মদিন অন্য ২২ ব্যক্তির চেয়ে ভিন্ন হওয়ার সম্ভবনা ৩৪৩/৩৬৫।
তাহলে ২৩ ব্যক্তির জন্মদিন পৃথক পৃথক হওয়ার মোট সম্ভবনা দাঁড়ায়:

৩৬৫/৩৬৫ X ৩৬৪/৩৬৫ X ৩৬৩/৩৬৫ X ………………. X ৩৪৩/৩৬৫ = ০.৪৯২৭ বা ৪৯.২৭% (কেন গুণ করলাম বুঝতে না পরলে পরিশিষ্ট ২ দ্রষ্টব্য)

অর্থাৎ ২৩ জন ব্যক্তির জন্মদিন পৃথক না হওয়ার সম্ভবনা বা অন্তত দুইজনের জন্মদিন একই হওয়া সম্ভবনা = ১০০% – ৪৯.২৭% = ৫০.৭৩%, যা ৫০% এর চেয়ে বেশী।

এ থেকে প্রমাণীত হল:
কোথাও যদি ২৩ জন লোক উপস্থিত থাকে তাহলে শতকরা ৫০ ভাগেরও বেশী সম্ভবনা এই যে তাদের মধ্যে যে কোন দুই জনের জন্মদিন একই হবে!

একই ভাবে হিসাব করে গেলে আমরা দেখতে পাই,

কোথাও যদি ৫০ জন লোক উপস্থিত থাকে তাহলে শতকরা ৯৭ ভাগেরও বেশী সম্ভবনা এই যে তাদের মধ্যে যে কোন দুই জনের জন্মদিন একই হবে।

কোথাও যদি ৫৭ জন লোক উপস্থিত থাকে তাহলে শতকরা ৯৯ ভাগেরও বেশী সম্ভবনা এই যে তাদের মধ্যে যে কোন দুই জনের জন্মদিন একই হবে।

কোথাও যদি ১০০ জন লোক উপস্থিত থাকে তাহলে শতকরা প্রায় ১০০ ভাগ সম্ভবনাই থাকে যে তাদের মধ্যে যে কোন দুই জনের জন্মদিন একই হবে!

নীচের গ্রাফটি দেখুন:

এই পরিসংখ্যান আপনি বাস্তবজীবনে প্রয়োগ করে দেখতে পারেন। আশা করি মিল খুঁজে পাবেন। সবাইকে ২ পর্ব দেখার অগ্রীম আমন্ত্রন রইল।

পরিশিষ্ট – ১: একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে উপরের পিঠে হেড ওঠার সম্ভবনা ৫০% অর্থাৎ দুইবারের মধ্যে একবার। সম্ভব্যতার ভাষায় লেখা হয় ১/২। কিন্তু হেড বা টেইল যে কোন একটি পাওয়ার সম্ভবনা ১০০% কারন হেড বা টেইল যেকোন একটি অবশ্যই পাওয়া যাবে। এটাকে লেখা যায় ২/২ হিসেবে। একারনেই প্রথম ব্যক্তির জন্মদিনের সম্ভাব্যতা লেখা হয়েছে ৩৬৫/৩৬৫।

পরিশিষ্ট – ২: যদি একাধিক মুদ্রা (এই ক্ষেত্রে ধরে নিই ২টি) নিক্ষেপ করা হয় তাহলে প্রতিটির ক্ষেত্রে হেড ওঠার সম্ভবনা ১/২ কিন্তু একত্রে দুটিতেই হেড ওঠার সম্ভবনা ১/৪ বা ২৫% (১/২ X ১/২)। কারন এক্ষেত্রে চারটি ঘটনার যেকোন একটি ঘটতে পারে। যথা: ১. দুটিতেই হেড ২. প্রথমটিতে হেড, দ্বিতীয়টিতে টেইল ৩. প্রথমটিতে টেইল, দ্বিতীয়টিতে হেড ৪. দুটিতেই টেইল। কাজেই আলাদা সম্ভবনাগুলোকে গুণ করলে মোট সম্ভবনাগুলো পাওয়া যায়। একারনে ২৩ জন ব্যক্তির মোট সম্ভবনা পাওয়ার জন্য তাদের পৃথক সম্ভবনাগুলো গুণ করা হয়েছে।

-ইমতিয়াজ আহমেদ
সম্পাদক, বিজ্ঞান পত্রিকা
[লেখকের ফেসবুক প্রোফাইল]

Share.

মন্তব্য করুন