Top header

পৃথিবীকে ঘিরে আশ্চর্য দড়ি

0

অনুমান বা অনুধাবন সবসময় ঠিকঠাক ভাবে কাজ করে না। এমনকি মাঝে মাঝে তা বস্তবতার কাছাকাছি দিয়েও যায় না। শুধু তাই নয়, কখনো কখনো এমন ঘটনাও ঘটে যা কেউ কখনো কল্পনাও করে না।

গনিতের সবচেয়ে বিখ্যাত ধাঁধাগুলোর একটি হচ্ছে পৃথিবীকে ঘিরে দড়ির ধাঁধা। ধাঁধাটি হচ্ছে এমন:

ধরা যাক পৃথিবী একটি সুষম গোলক এবং এর বিষুব রেখা বরাবর একটি দড়ি বিছিয়ে দেওয়া হলো। অর্থাৎ দড়িটি পুরো পৃথিবীকে চক্রাকরে ঘিরে থাকবে এবং পৃথিবী ও দড়ির মাঝখানে কোনো ফাঁক থাকবে না অর্থাৎ দড়ি মাটির সাথে লেপ্টে থাকবে। এই যদি হয় পরিস্থিতি তাহলে দড়ির দৈর্ঘ্য হবে ৪০০৬৪ কিলোমিটার (দড়ির দৈর্ঘ্য হবে পৃথিবীর পরিধির সমান)। দড়িটিকে যদি তার আগের দৈর্ঘ্য অর্থাৎ ৪০০৬৪ কিলোমিটারের চেয়ে এক মিটার দীর্ঘ করা হয় তাহলে দড়ি দিয়ে তৈরি বৃত্তটি একটু হলেও বড় হবে অর্থাৎ পৃথিবী ও দড়ির মধ্যে একটি ঢিলা ভাব তৈরি হবে। প্রশ্নটি হচ্ছে, এক মিটার দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির ফলে পৃথিবী ও দড়ির মাঝদিয়ে যে ঢিলাভাব তৈরি হবে তাতে পৃথিবী ও দড়ির মাঝে এমন ফাঁক সৃষ্টি হবে কিনা যেন সেখান দিয়ে একটি ইঁদুর পার হয়ে যেতে পারে!

গাণিতিক হিসেব-নিকেশ না করে এই প্রশ্নের চটজলদি উত্তর দিতে গেলে নিন্মোক্ত উত্তর পাওয়া যেতে পারে:

মাত্র এক মিটার দৈর্ঘ্য বাড়ানো হলে দড়ির দৈর্ঘ্য এমন কিছু বাড়বে না যেতে ইঁদুর চলে যেতে পারে। কিন্তু এই ধরনের অনুমান নির্ভর উত্তর দিয়ে গণিতকে সন্তুষ্ট করা যায় না। গণিত সবকিছু গাণিতিক ভাবেই প্রমাণ করে। গণিতের কোনো সূত্র যতক্ষণ না প্রমাণিত হচ্ছে ততক্ষণ সেটাকে সূত্র বলা হয় না যদিও হয়তোবা কয়েক কোটি ভিন্ন ক্ষেত্রে সেটা সঠিক বলে দেখা গেছে! সে যাই হোক এখন আমরা আমাদের ধাঁধার হিসেব শুরু করি।

Picture2

মনে করি পৃথিবীর পরিধি C, অর্থাৎ দড়ির প্রাথমিক দৈর্ঘ্যও হবে C যার মান ৪০০৬৪ কিলোমিটার।পৃথিবীর ব্যাসার্ধ r হলে দড়ি দিয়ে তৈরি বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধও হবে r। ধরা যাক দড়ির দৈর্ঘ্য এম মিটার বৃদ্ধির ফলে উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য হয় R।

সুতরাং, C = 2πr এবং C+1 = 2πR [সকল দৈর্ঘ্য মিটারে হিসেব করা হলো]

এখন দ্বিতীয় সমীকরণটিকে প্রথম সমীকরণ হতে বিয়োগ করে পাই,

C+1 – C = 2πR – 2πr

বা, 2πR – 2πr = 1

বা, 2π(R – r) = 1

অতএব, R – r = 1/2π

এখানে যেই R – r নির্ণয় করা হচ্ছে সেটাই আসলে দড়ির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির ফলে সৃষ্ট পৃথিবীর মাঝে ফাঁকা স্থান। আর এই ফাঁকা স্থানের মান 1/2π এবং এর এককটি হবে মিটার কেননা আমরা দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির পরিমান মিটারে বসিয়েছি। এখন পাই এর মান বসিয়ে সমাধান করলে আমরা পাচ্ছি পৃথিবী এবং দড়ির মাঝে সৃষ্ট ফাঁকা স্থানের পরিমান ০.১৫৯ মিটার বা প্রায় ১৬ সেন্টিমিটার যা একটির পিঠে একটি করে তিন-চারটি ইঁদুর চলে যাওয়ার জন্য যথেষ্ট! [ইমতিয়াজ আহমেদ রচিত ‘গণিতের সৌন্দর্য’ বই থেকে নেওয়া]

Share.

মন্তব্য করুন